Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

$\text{Aus }A(-3|1):(I)1=1\cdot (-3{)}^2+b\cdot (-3)+c$

$\text{Aus }B(2|6):(II)6=1\cdot (2{)}^2+b\cdot (2)+c\Rightarrow c=2-2b$

$$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Setze b in$(II)$ein und berechne $c$.

$c=2-2b\Rightarrow c=2-2\cdot 2=-2$

$c=-2$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_1:y=x^2+2x-2$

Der Scheitel der Parabel $p_2$ist laut Angabe: $S_2(3|4)$

Die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_2$ ein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $a=-1.$

$p_2:y=-(x-3{)}^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_2:y=-x^2+6x-5$

Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Zur Berechnung der $y$-Koordinate setzte den Wert der $x$-Koordinate

des Punkts $C$ in die Funktionsgleichung $p_3$ ein.

$p_3:y=-x^2+7x+14$

$y=-(7^2)+7\cdot 7+14$

$y=63-49$

$y=14\Rightarrow C(7|14)$

Setze die $x$-Koordinate von D $(-3)$ in dieFunktionsgleichung

von$p_3$ein und berechne den Funktionswert.

also:$y=-(-3{)}^2+7\cdot (-3)+14$

$y=-9-21+14$

$y=-16$

Der Punkt $D$ liegt nicht auf der Parabel$p_3$, da:$-16\ne 16$ .

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_3$ ablesen:${\mathrm{S}}_2\left(\mathrm{3,5}|\mathrm{26,25}\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x^2-20x+96=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{20\pm \sqrt{{20}^2-4\cdot 1\cdot 96}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{20\pm \sqrt{400-384}}{2}}\Rightarrow x_1=12$

$x_2=8$

Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten:

$N_1=12;N_2=8$

$a.)g:2y+6x=38\Rightarrow y=19-3x$

$b.)x^2-20x+96=19-3x$

$x^2-17x+77=0$

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung $a{x}^2+bx+c=0$ ist definiert durch:

$c.)D=(-17{)}^2-4\cdot 1\cdot 77\Rightarrow D=289-308$

$D=-19$

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für$D>0$gibt es zwei, für $D=0$eine und für $D<0$keine Lösung.

da$(-19)<0$ ist, hat die Gleichung keine Lösung, die Gerade$g$hat also

keinen Schnittpunkt mit der Parabel$p_4$.